Introducción

Introducción - Orígenes del Cálculo

Los orígenes del Cálculo estuvieron motivados por el deseo de resolver diversos problemas vinculados al movimiento de los cuerpos, así como problemas de tipo geométrico de importancia en Óptica y problemas de cálculo de valores máximos y mínimos de una función dada. Simplificando, podemos destacar dos problemas principales:

• Determinar la tangente a una curva en un punto (el problema de las tangentes).
• Determinar el área encerrada por una curva (el problema de las cuadraturas).

El primero dió origen al Cálculo Diferencial, mientras que el segundo al Cálculo Integral. Nos centraremos en este OVA al estudio del primer caso.

Imagen 2: Gráfica de la Recta Tangente



Propósitos de Aprendizaje

Propósitos de Aprendizaje

Con el desarrollo y estudio de este Objeto Virtual de Aprendizaje, se esperan alcanzar los siguientes propósitos de aprendizaje:

  • Que el estudiante comprenda el orígen de la derivada a través del problema de las Tangentes.
  • Que el estudiante interprete de manera correcta la derivada desde su visión geométrica y física.
  • Que el estudiante desarrolle la derivada de una función mediante el límite.
  • Que el estudiante aplique los criterios de la primera y segunda derivada en la resolución de problemas.

La Derivada - Interpretación Geométrica y Física

La Derivada - Interpretación Geométrica y Física.

La siguiente sección esta dedicada a entender cómo a través del estudio del problema de las Tangentes, es que se da inicio al desarrollo del Cálculo Diferencial. De esta manera te invitamos a seguir las siguientes instrucciones:

  • Conceptos Preliminares: Visualiza detalladamente el vídeo en donde se da un breve repaso en algunos conceptos claves de la Trigonometría y la Geometría Analítica, que sirven de insumo para el tema de estudio.
  • Interpretación Geométrica: Manipula el Applet de GeoGebra en el cual podrás hacer un recorrido por algunas definiciones y conceptos que te permitirán comprender un poco mejor la derivada como un Límite.
  • Interpretación Física (Partes I y II): Mediante los Applets y vídeos podrás entender cómo la derivada se puede interpretar como la variación instantánea en la velocidad de un cuerpo en el espacio.

¡Inicia este recorrido con la mejor disposición!

Conceptos Preliminares

Conceptos Preliminares

Antes de dar inicio a nuestro estudio sobre lo que significa la Derivada, su origen e interpretación, es necesario hacer un breve recorrido por algunos conceptos básicos de la Geometría, Trigonometría y Geometría Analítica. Por favor presta atención al siguiente vídeo donde se detallan dichos conceptos preliminares.

Vídeo 1: Conceptos Preliminares 












Interpretación Geométrica

Actividad de GeoGebra

Interpretación Geométrica

La Derivada como un Límite

A través del siguiente Applet de GeoGebra, podrás hacer un recorrido acerca de cómo se debe interpretar la derivada de una función como el límite. Para poder hacer el recorrido en el Applet, es necesario dar click en el botón de navegación con el ícono de  ubicado en la parte inferior derecha.

https://www.geogebra.org/m/xzqdjzau (Ventana nueva)

Leon%20Dario%20Solano%20Rincon,https%3A//www.geogebra.org/m/xzqdjzau,La%20Derivada%20como%20un%20L%EDmite,1,Autor%EDa

León Dario Solano Rincón. Applet de GeoGebra: La Derivada como un Límite. Tomado 

de:https://www.geogebra.org/m/xzqdjzau

Interpretación Física - Parte I

Interpretación Física - Parte I

Pendiente de una Recta  - La Velocidad Media

A partir del siguiente vídeo podrás encontrar una primera aproximación a la interpretación física del concepto del problema de las tangentes. En él, vamos a estudiar una situación ideal de un desplazamiento de un vehículo bajo condiciones excepcionales. Por favor visualiza dicho vídeo con detenimiento.

Vídeo 2: El Problema de las Tangentes - Interpretación Física Parte I




Interpretación Física - Parte II

Interpretación Física - Parte II

De Velocidad Media a Velocidad Instantánea

Con la visualización de este siguiente vídeo podrás comprender un poco más acerca de cómo se puede proceder desde el cálculo de las velocidades medias al cálculo de la velocidad instantánea, mediante un acercamiento cada vez mayor entre los valores iniciales y finales. Ten presente que sobre el desarrollo de este vídeo deberás resolver una serie de preguntas al final de este OVA.

Vídeo 3: El Problemas de las Tantentes - Interpretación Física Parte II




 

La Derivada de una Función es otra Función

Actividad de GeoGebra

La Derivada de una Función

es otra Función

A través del siguiente Applet de GeoGebra, vas a comprender que la derivada de una función es otra función. Para ello debes seguir atentamente las siguientes instrucciones:

  • Lee la pregunta de la página inicial y luego click en el botón 
  • Da click en el botón que dice "Mostrar Ejes".
  • Vuelve a dar click en el botón 
  • Edita la función que desees analizar, da click en el botón "Activa Rastro" y mueve lentamente el punto rojo sobre la función. De esta manera podrás visualizar el recorrido que deja la pendiente de la función.
  • Si deseas hacer el análisis con otra función, solo debes dar click en el botón "Borrar Rastro" e iniciar con una función diferente.

¡Adelante!

https://www.geogebra.org/m/qmxawfbu (Ventana nueva)

Leon%20Dario%20Solano%20Rincon,https%3A//www.geogebra.org/m/qmxawfbu,La%20derivada%20de%20una%20funci%F3n%20da%20otra%20funci%F3n,1,Autor%EDa

León Dario Solano Rincón. Applet de GeoGebra: La Derivada de una Función es otra Función. Tomado 

de:https://www.geogebra.org/m/qmxawfbu

Aplicaciones de la Derivada

Aplicaciones de la Derivada

Criterio de la Primera y Segunda Derivada

En esta segunda sección podrás comprender cuáles son los dos criterios de aplicación de las derivadas de funciones; el criterio de la primera derivada nos permitirá identificar regiones de crecimiento y, el segundo criterio de la derivada nos permitirá identificar las regiones de concavidad de una función. Ambos criterios convergen además en la identificación de puntos Máximos, Mínimos y Puntos de Inflexión.

¡Adelante!

Aplicaciones de la Derivada

Actividad de GeoGebra

Aplicaciones 

Criterios de la Primera y Segunda Derivada

Con el siguiente Applet de GeoGebra, podrás introducirte en el camino hacia los dos criterios de aplicación de la derivada. Da click en el ícono , para iniciar y hacer todo el recorrido. Ten presente que cuando llegues a algunas secciones de ejemplos, deberás manipular la vista gráfica para poder visualizar todo el proceso.

https://www.geogebra.org/m/rtbfatgr (Ventana nueva)

Leon%20Dario%20Solano%20Rincon,https%3A//www.geogebra.org/m/rtbfatgr,Derivadas%20-%20Problemas%20de%20Aplicaci%F3n,1,Autor%EDa

León Dario Solano Rincón. Applet de GeoGebra: Problemas de Aplicación. Tomado 

de:https://www.geogebra.org/m/rtbfatgr

Actividad Evaluativa

Actividad Evaluativa

Mediante el cuestionario que desarrollarás a continuación, se pretende evaluar el nivel de comprensión de cada uno de los temas abordados en este OVA respecto al estudio de la Derivada y sus Aplicaciones. Algunas de estas preguntas estarán basadas en el desarrollo de un Applet, por lo que te pedimos que lo manipules según las instrucciones. Por favor tener muy presente lo desarrollado en este Objeto Virtual de Aprendizaje y responde con mucho detalle a cada una de las preguntas.

¡Muchos Éxitos!

Parte I - Applet: Calculando Velocidades Medias

Actividad de GeoGebra

Calculando Velocidades Medias 

A través de la manipulación del siguiente Applet, responde a cada una de las preguntas que se derivan de él.

Instrucciones:

  • Da click en el botón  para ir a la sección correspondiente a las posiciones iniciales y finales.
  • Ten presente que el punto que corresponde a la posición inicial (Punto Rojo), siempre debe estar a la izquierda del punto que corresponde a la posición final (Punto Azul).
  • Toma papel, lapíz y calculadora para hacer los cálculos correspondientes.

https://www.geogebra.org/m/uz8ga3hv (Ventana nueva)

Leon%20Dario%20Solano%20Rincon,https%3A//www.geogebra.org/m/uz8ga3hv,Calculando%20Velocidades%20Medias,1,Autor%EDa

León Dario Solano Rincón. Applet de GeoGebra: Calculando Velocidades Medias. Tomado 

de:https://www.geogebra.org/m/uz8ga3hv

Pregunta Verdadero-Falso

Pregunta 1

La velocidad media en el intervalo comprendido entre la hora 2 y la hora 5 es de 38.33 km/h.

Pregunta 2

A medida que las posiciones incial y final se hacen cada vez más cerca, lo que se está determinando es la velocidad media.

Pregunta 3

La expresión que utilizamos para calcular la velocidad media, se asemeja a la expresión de pendiente de una recta.

Parte II - Cuestionario

Cuestionario Sobre las Derivadas y sus Aplicaciones

Pregunta

1. Al Aplicar la fórmula del límite para determinar la derivada de la función 

f(x)=3x^{2}+4x-3

podemos asegurar que su derivada es:

Respuestas

a. 

f{}'(x)=6x+4

b. 

f{}'(x)=6x-4

c. 

f{}'(x)=3x-6

Pregunta

2. El criterio de la primera derivada permite determinar:

Respuestas

a. Las regiones de concavidad de una función.

b. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función.

c. Si la función es a trozos en un intervalo I.

Pregunta

3. La función 

f(x)=x^{3}-3x+1

tiene como puntos máximo y mínimo los siguientes:

Respuestas

a. Máximo en (-1,-3) y Mínimo en (1,-1)

b. Máximo en (-1,3) y Mínimo en (-1,-1)

c. Máximo en (-1,3) y Mínimo en (1,-1)

Pregunta

4. La derivada de una función f(x), cualquiera que ésta sea, es a la vez una función. Esta afirmación es:

Respuestas

a. Falsa, toda vez que las derivadas de funciones no son nada más que cálculos algebraicos.

b. Verdadera, toda vez que la expresión resultante de derivar, es a la vez una función matemática.

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Conclusiones

Conclusiones 

  • Se desarrolló el recurso didáctico de tal manera que el estudiante pudiera comprender el concepto de derivada desde su problema de origen.
  • Se aprendió a desarrollar la derivada de una función polinómica a través de la fórmula del límite.
  • Se afianzó en el tema de las derivadas, toda vez que se comprendieron los conceptos básicos, sus interpretaciones y aplicaciones.
  • Con el desarrollo de los Applets, la visualización y posterior comprensión de cada uno de los temas es más cómodo el aprendizaje del Cálculo.

Referencias Bibliográficas

Referencias Bibliográficas

Créditos

Créditos

León Dario Solano Rincón

Licenciado en Matemáticas, Magíster en Didáctica de las Matemáticas

email: leon.solano@unad.edu.co

Semillero de Investigación ASBI - CEAD La Dorada

Docente ECBTI

Director de Curso: Gustavo Salazar Cedeño

2022

UNAD

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